ทุกคนคงได้ยินเรื่องภูมิคุ้มกันหมู่ตั้งแต่แรกๆ ที่มีโควิด และก็คงได้ยินอีกสารพัดตัวเลขว่า เพื่อจะให้เกิดภูมิคุ้มกันหมู่เราจะต้องฉีดวัคซีนให้ได้ 50% บ้าง 66% บ้าง ยิ่งพักหลังที่สายพันธุ์เดลต้าระบาดตัวเลขที่ออกกลายเป็น 85% หรือบางทีก็เกิน 100% ไปเลย (แปลว่าอะไร!)
ด้วยความหงุดหงิดว่าเค้าพูดเลขอะไรกัน และมันน่าเชื่อถือขนาดไหน วันนี้เลยลองไปดูที่มาของสูตรภูมิคุ้มกันหมู่ แล้วก็พบว่า…
มันเรียบง่ายมาก ง่ายแบบที่ถ้าพอย้ายข้างสมการเป็น ใครๆ ก็พิสูจน์ได้ (ใครมีลูกเอาไปเล่าให้ฟังก็ได้นะครับ เค้าจะได้เห็นว่าสิ่งที่เรียนมีประโยชน์ยังไง)
เชื่อว่าพอรู้จักที่มาที่ไปแล้ว เราก็จะทำความเข้าใจกับข่าวสารต่างๆ ได้ดีขึ้นครับ เอาล่ะเริ่มกันเลย
เป้าหมายของภูมิคุ้มกันหมู่คืออะไร
ก่อนหน้านี้ผมไม่เคยเข้าใจเลยว่าถ้าเกิดภูมิคุ้มกันหมู่แล้วจะได้อะไร โควิดมันจะหายไปเลยหรือเปล่า? หรือยังคงติดอยู่? ถ้ายังคงติดอยู่ ต้องติดน้อยขนาดไหนถึงเรียกว่าผ่านเกณฑ์การมีภูมิคุ้มกันหมู่?
คำถามนี้แหละสำคัญที่สุด เพราะจะทำให้เราตั้งต้นได้ถูก
คำตอบก็คือ
เป้าหมายของการสร้างภูมิคุ้มกันหมู่คือ การทำให้ผู้ติดเชื้อ “ใหม่” คงที่หรือลดลง
ดูสายพันธุ์เดลต้าเป็นตัวอย่าง หมอบอกกว่าถ้าประชากรไม่มีภูมิคุ้มกันอะไรเลย ผู้ติดเชื้อหนึ่งคนจะแพร่เชื้อได้โดยเฉลี่ยประมาณ 6 คน (R0 = 6) อย่างนี้ก็แปลว่า ถ้าเริ่มจากผู้ติดเชื้อ 1 คน:
- ผู้ติดเชื้อคนนี้จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 6 คน (เรียกว่าล็อต 1)
- ผู้ติดเชื้อล็อต 1 จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 36 คน (ล็อต 2)
- ผู้ติดเชื้อล็อต 2 จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 216 คน (ล็อต 3)
- ผู้ติดเชื้อล็อต 3 จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 1,296 คน (ล็อต 4)
- ผู้ติดเชื้อล็อต 4 จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 7,776 คน (ล็อต 5)
- ผู้ติดเชื้อล็อต 5 จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 46,656 คน (ล็อต 6)
- แบบนี้ไปเรื่อยๆ
โอ้โห ไฟลามทุ่งสุดๆ เพราะผู้ติดเชื้อใหม่ล็อตที่ n จะมีจำนวน (R0)n ในกรณีนี้คือ 6n
แล้วถ้าเริ่มจากผู้ติดเชื้อมากกว่า 1 คนล่ะจะเป็นยังไง? เราก็แค่คูณจำนวนคนตั้งต้นเข้าไป (มองง่ายๆ ว่าผู้ติดเชื้อตั้งต้นแต่ละคนไปแพร่ต่อสายใครสายมัน) เช่น ถ้าเริ่มต้นจากผู้ติดเชื้อ 10 คน จะมีผู้ติดเชื้อใหม่ล็อตที่ 3 จำนวน 10 x 63 = 2,160 หรือเขียนเป็นสูตรได้ว่า
ผู้ติดเชื้อใหม่ล็อต n = a x (R0)n
โดยที่ a = จำนวนผู้ติดเชื้อเริ่มต้น
สังเกตนะครับว่าที่ทำให้ผู้ติดเชื้อพุ่งพรวดคือ R0 เพราะถูกยกกำลัง ส่วนจำนวนผู้ติดเชื้อตั้งต้นนั้นไม่ได้เป็นปัญหาอะไรมาก เพราะถ้าเราควบคุมส่วนที่อยู่ในวงเล็บให้ลดลงได้ เดี๋ยวจำนวนผู้ติดเชื้อใหม่ทั้งหมดก็จะลดลงไปเอง
ไอเดียของภูมิคุ้มกันหมู่ก็คือ ทำให้ R0 ซึ่งคืออัตราการแพร่เชื้อในประชากรที่ไม่มีภูมิคุ้มกัน กลายเป็น R ซึ่งคืออัตราการแพร่เชื้อในประชากรที่มีภูมิคุ้มกัน (บางส่วน)
ตัวอย่างเช่น ถ้าเราทำให้อัตราแพร่เชื้อเหลือแค่ R = 1 จากผู้ติดเชื้อเริ่มต้น 1 คน
- ผู้ติดเชื้อคนนี้จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 1 คน (เรียกว่าล็อต 1)
- ผู้ติดเชื้อล็อต 1 จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 1 คน (ล็อต 2)
- ผู้ติดเชื้อล็อต 2 จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 1 คน (ล็อต 3)
- แบบนี้ไปเรื่อยๆ
แบบนี้จำนวนผู้ติดเชื้อใหม่จะคงที่
และถ้าเราทำให้ R เหลือน้อยกว่า 1 ได้ อย่างเช่น R = 0.5 จากผู้ติดเชื้อเริ่มต้น 1 คน
- ผู้ติดเชื้อคนนี้จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 0.5 คน (เรียกว่าล็อต 1)
- ผู้ติดเชื้อล็อต 1 จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 0.25 คน (ล็อต 2)
- ผู้ติดเชื้อล็อต 2 จะแพร่เชื้อให้ผู้ติดเชื้อใหม่ 0.125 คน (ล็อต 3)
- แบบนี้ไปเรื่อยๆ
แน่นอนว่าจำนวนคนติดเชื้อเป็นจุดทศนิยมไม่ได้ แต่ถ้าสมมติว่ามีผู้ติดเชื้อตั้งต้น 1,000 คน ในตัวอย่างด้านบนผู้ที่เชื้อในล็อตต่อๆ ไป ก็จะเหลือ 500, 250, 125, … และค่อยๆ ลดลงจนหายไปเอง
ดังนั้น R = 1 คือเป้าหมายของภูมิคุ้มกันหมู่ เพราะถ้าเราทำให้ R ลดลงแตะค่า 1 เมื่อไหร่ เราจะควบคุมโรคได้
เป้าหมายการฉีดวัคซีน
สมมติก่อนว่าถ้าเราฉีดวัคซีนครบ 2 โดสปุ๊บเราก็จะไม่ติดโควิด ดังนั้นถ้าเราฉีดวัคซีนให้ประชากร s (ฉีดแบบกระจายทั่วๆ นะ) อัตราการแพร่เชื้อก็จะเหลือแค่
R = (1 – s) x R0
เพราะคนที่ติดเชื้อได้เหลือแค่ 1 – s แทนที่จะเป็น 1 (หรือ 100%) ตัวอย่างเช่น ถ้าเราฉีดวัคซีนให้ประชากร 60% แล้ววัคซีนได้ผลเต็มที่ อัตราการแพร่เชื้อเดลต้าก็จะเหลือ R = (1 – 0.6) x 6 = 2.4 ซึ่งค่า R นี้ก็ยังเยอะกว่า 1 อยู่ดี และการระบาดก็จะลุกลามไปไกล
แล้วต้องฉีดวัคซีนให้ประชากรเท่าไหร่ ค่า R ถึงจะเหลือ 1
เราก็แค่แก้สมการโดยกำหนดให้ R = 1 แล้วหา s
1 = (1 – s) x R0
ย้ายข้างสมการ
1/R0 = 1 – s
s = 1 – 1/R0
ซึ่งก็คือสูตรในข่าว
ดังนั้นสำหรับเดลต้าที่มี R0 ประมาณ 6 เราต้องฉีดวัคซีนให้ได้ 1 – 1/6 = 83.3% แต่…
วัคซีนมันกันเดลต้าไม่ได้ 100% นิ!
เราก็เลยต้องสมมติต่อว่า ถ้าให้ประสิทธิภาพของวัคซีนเป็น E (เช่น E = 70% แปลว่าคนที่ฉีดแล้ว 70% จะไม่ติด) อัตราการแพร่เชื้อก็จะเป็น
R = (1 – s x E) x R0
ถ้าอยากรู้ว่าจะทำยังไงถึงจะมีภูมิคุ้มกันหมู่ ก็ทำเหมือนเดิมคือให้ R = 1 แล้วแก้สมการหา s
1/R0 = 1 – s x E
s x E = 1 – 1/R0
s = (1 – 1/R0)/E
คราวนี้ถ้าสมมติว่า E = 70% เราก็จะได้ค่า s = (1 – 1/6) / 0.7 = 119%
นี่ก็เป็นที่มาของค่า s เกินร้อยที่เป็นไปไม่ได้ ซึ่งมาจากสูตรประมาณการแบบง่ายนั่นเอง ซึ่งสูตรนี้อาจจะมีประสิทธิภาพกับโรคและวัคซีนที่มีค่า R0 และ E บางช่วงนะครับ แต่สำหรับโควิดที่มีค่า R0 = 6 และวัคซีนที่มีค่า E ไม่แน่นอน สูตรนี้คงจะบอกอะไรเราไม่ได้มาก
